KATA PENGANTAR
Puji Syukur
kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas lindungan dan ijin Nya, Sholawat serta
salam semoga tetap pada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, yang telah
mengajarkan kita pentingnya mencari ilmu dan akhirnya kami sebagai penulis
dapat menyelesaikan makalah ini, yang telah di tugaskan oleh dosen mata kuliah sistem-sistem geometry khususnya
dalam ilmu Matematika
Dalam makalah ini
yang akan dibahas yaitu tentang geometri Euclid . makalah ini akan memberikan manfaat bagi kami para mahasiswa
dan para pembaca agar lebih memahami dan mengetahui tentang geometri
Euclid(baik itu teorema dan postulatnya Euclid).
Dengan di buatnya
makalah ini di harapkan kita dapat mengetahui lebih dalam bagaimana sejatinya
seorang pegngajar dengan anak didik berinteraksi dengan baik sehingga munculnya
pembinaan yang tepat, sehingga kita sebagai mahasiswa mengetahui dan mengerti dan dapat mengambil manfaat
makalah ini.
Penulis sangat
menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan di dalam penyusunan makalah
ini, untuk itu saya mohon maaf yang sebesar-besarnya dan mohon kiranya di beri
masukan dalam rangka melakukan perbaikan
dan menjadi lebih baik di lain waktu. Semoga makalah ini memberikan manfaat
bagi orang banyak dan menambah wawasan bagi kita semua.
Jabal ghafur, 12 desember 2016
Tim Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGHANTAR....................................................................................................................................................
I
DAFTAR ISI..................................................................................................................................................................... II
BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………………………………………………………..1
1.1 LATAR BELAKANG
…………………………………………………………………………………….1
1.2 RUMUSAN MASALAH…………………………………………………………………………………………5
BAB II PEMBAHASAN……………………………………………………………………………………………………. 6
A.
GEOMETRI EUCLID
B.
STRUKTUR
GEOMETRI EUCLID
C.
PERAN
POSTULAT SEJAJAR EUCLID
D. TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETRY
BAB III PENUTUP…………………………………………………………………………………………………22
KESIMPULAN …………………………………………………………………………………………………………..22
DAFTAR PUSTAK…………………………………………………………………………………………………..23
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR
BELAKANG
Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan
unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan
ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan
unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada
pengertian-pengertian baru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu
sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu
aksioma dan postulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya
diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat
diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga
dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang
kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian.
Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung
suatu pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal
tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan
bermacam-macam lambang. Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital
misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya
garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti
AB (dibaca: garis ), dan lambang-lambang yang lain seperti yang menunjukkan
segmen AB.
Euclid dengan buku
Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang
paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika tertua yang selalu
digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid, kecuali fakta bahwa
dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok persoalan utama dari
karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan.
Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara
menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak
memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak,
Euclid, yang merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada
pembuktian menggunakan gambar.
Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat
penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut
: Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua
sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o,
garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan
pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai
dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting
dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan
tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide
dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang
cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di
berbagai buku ajar.
1.2
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada makalah ini antara
lain :
1)
Apa yang dimaksud dengan geometry euclid?
2)
Bagaimana kedudukan geometry Euclid sebelum dan zaman modern sekarang ini?
3)
Apa sajakah pembahasan yang terdapat dalam geometri euclid ?
1.1
Tujuan
Adapun tujuan pembuatan makalah ini antara lain :
1)
Mengetahui pengertian geometri euclid.
2)
Mengetahui kedudukan geometri Euclid dalam kegiatan pembelajaran.
3)
Mengetahui cara meilih aksioma dan postulat yang cocok untuk diselesaikan.
4)
Mengetahui macam-macam aksioma dan postulat yang terdapat dalam geometri
Euclid..
BAB II
PEMBAHASAN
A.
GEOMETRI
EUCLID
Tidak banyak orang yang beruntungmemperoleh
kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar.
Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander
yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang
ketenarannya
mungkin
mengungguli dari mereka semua .
Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci
mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah
aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan
dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di
benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan
diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama
terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.
Kebanyakan teorema yang
disajikan dalam buku The Elements tidak
ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan
Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios,
Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum
Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar
dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti
seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma
sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius
dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di
Buku I.
Arti penting buku The
Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang
dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah
ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya.
Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan
permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan
buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta
perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus
diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil
sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia
menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan
mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu
dicatat bahwa buku The Elements
selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di
samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori
penjumlahan.
Buku The Elements
sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tidak diragukan
lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu
hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu
menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah
digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam
berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum
penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan
diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.
Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh
ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh
yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang
menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid
merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu
pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat
dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang
direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja
penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa
hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan
muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap
bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan
yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus
mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya
mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang
paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah
rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan
oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina–meskipun berabad-abad
lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa–tak pernah memiliki
struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada
seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang
Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi
pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang
mengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar
prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang
wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada
umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem
abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan
sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang
sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara
sekali, sejak Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba
menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua
kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa
yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof
Spinoza.
Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri
Euclid, bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan
teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150
tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan ala Euclid.
Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan
menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan
masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang
hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalam
derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang
dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa
secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal
pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan.
Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil
upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.
The
Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan
proposisi-proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam
hal kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar,
teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras.
Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak
lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku 3 menyelidiki lingkaran dan
sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudut-sudut yang
digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak beraturan dan lingkaran-lingkaran yang
mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan.
Buku 6 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat
teorema-teorema bilangan kembar. Buku 7 menguraikan teori bilangan dasar:
misalnya bilangan prima, faktor persekutuan terbesar, dan lain-lain. Buku 8
terkait dengan deret geometri. Buku 9 memuat macam-macam aplikasi dari hasil
dua buku sebelumnya, dan memuat teorema-teorema ketakterhinggaan bilangan
prima, maupun rumus jumlah deret geometri. Buku 10 berusaha menggolongkan
besaran yang tak dapat dibandingkan (dengan kata lain irasional) menggunakan
apa yang disebut “metode keletihan”, suatu rintisan integral kuno. Buku 11
menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan
metode keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa yang biasa disebut lima
benda padat platonis.
B.
STRUKTUR
GEOMETRI EUCLID
Asumsi atau postulat yang
ada untuk geometri bidang Euclid adalah :
1.
Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu
yang sama akan sama satu sama lainnya.
2.
Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan,
maka jumlahnya akan sama.
3.
Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan,
selisihnya akan sama.
4.
Keseluruhan akan lebih besar daripada
bagiannya.
5.
Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa
mengubah ukuran atau bentuknya.
6.
Setiap sudut memiliki bisektor.
7.
Setiap segmen memiliki titik tengah.
8.
Dua titik hanya berada pada satu satunya
garis.
9.
Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu
segmen yang sama dengan segmen yang diberikan.
10. Lingkaran
dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui.
11.
Semua sudut siku – siku sama besar.
Dari postulat – postulat di atas dapat
dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah :
1. Sudut bertolak belakang sama besar.
2. Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS )
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama
kaki dan konversinya
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis
pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis
yang melalui titik eksternal
6. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut
dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan
segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.
Sekarang akan dibuktikan teorema sudut
eksterior, sebagai cara menuju perkembangan lebih lanjut.
Teorema
1. Teorema sudut eksterior. Sudut eksterior
segitiga akan lebih besar daripada sudut interior terpencil manapun.
Bukti. Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan
perpanjangan dari melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior
ACD lebih besar dari A. misalkan E merupakan titik tengah AC, dan misalkan BE merupakan
perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE = EF dan AEB = CEF ( sudut bertolak belakang sama besar ). Jadi ∆ AEB = ∆ CEF ( SAS ),
dan BAE = FCE ( akibat segitiga kongruen ). Karena ACD > FCE ( keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya ), maka
disimpulkan bahwa ACD > BAE = A.
Untuk menunjukkan bahwa ACD > B, perluas melalui C hingga H, yang
membentuk BCH. Kemudian tunjukkan bahwa BCH > B, dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian: misalkan M
merupakan titik tengah , perluas panjang melalui M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa BCH dan ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga sudut tersebut sama
besar.
Pernyataan ACD > FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian
beberapa hasil yang cukup penting.
Teorema 2. Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga
membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut
sejajar.
Bukti. Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar
jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal
membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk
pasangan sudut interior dalam berseberangan, 1 dan 2, yang sama besar, dan misalkan garis l dan garis m tidak
sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang membentuk
∆ABC. C terletak pada satu sisi AB atau pada sisi yang lainnya. Untuk kasus
lainnya, sudut eksterior ∆ ABC sama dengan sudut interior terpencil. (misalkan,
jika C pada sisi AB yang sama sebagai 2 maka sudut eksterior 1 sama dengan sudut interior terpencil 2 ). Hal ini kontradiksi dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu
garis l dan garis m sejajar.
Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti
sejajar.
Sebagai
akibat langsung akibat 1 adalah
Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis
melalui titik eksternal.
Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada
garis l, maka akan ada setidaknya
satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.
Bukti. Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan garis l
menurut akibat 1.
Teorema 3.
Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180o.
Bukti. Misalkan ∆ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa A + B < 180o. Perluas CB melalui B hingga ke D. maka ABD merupakan sudut eksterior ∆ABC. Dengan menggunakan teorema 1, ABD > A, tetapi ABD = 180o - B.dengan mensubstitusikan untuk ABD pada relasi pertama, maka : 180o - B > A, atau 180o > A + B. Jadi, A + B < 180o, dan teorema tersebut terbukti.
Pengganti Postulat Sejajar Euclid
Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini
:
Hanya ada satu garis
sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut.
Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa
dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini
tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar,
dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut
memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis geometri. Dikatakan
pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan
pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali
postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema;
dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama
dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama
dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua
pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan
dideduksi sebagai suatu teorema.
Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair
Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair.
Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan
dideduksi postulat Playfair.
Diketahui garis l dan titik P
tidak pada l (gambar 2.5), maka akan
ditunjukkan bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis melalui P
yang sejajar dengan l, dan diketahui
juga bagaimana cara menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan
garis tegak lurus pada l dengan kaki
Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada . Maka garis m sejajar garis l.
Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda
dengan garis m. maka akan ditunjukkan
bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan 1, 2 menunjukkan sudut dimana garis n
bertemu dengan . Maka 1 bukan merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit, berlawanan dengan asumsi. Jadi 1 atau 2 adalah sudut lancip, misalnya 1 yang merupakan sudut lancip.
Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh
garis transversal sehingga membentuk sudut lancip 1 dan sudut siku – siku, yang merupakan sudut interior pada sisi yang
sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari
180o, postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan
bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu – satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan
garis l dan dideduksikan bahwa
postulat Playfair dari postulat sejajar Euclid.
Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat
sejajar Euclid.
Gambar 2.6
Misalkan
garis m dibagi oleh garis transversal
dititik Q, P yang membentuk 1 dan 2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang
memiliki jumlah sudut kurang dari 180o ( gambar 2.6 ), adalah :
(1)
1 + 2 < 180o
Misalkan 3 menunjukkan tambahan 1 yang terletak pada sisi berlawanan dari 1 dan 2 ( gambar 2.6 ), maka :
(2) 1 + 3 = 180o
Dari hubungan (1), (2) maka :
(3) 2 < 3
Pada
titik P, bentuk QPR yang sama dengan dan yang interior dalam berseberangan dengan 3. Maka 2 < PQR, sehingga berbeda dari garis m. menurut teorema 2, sejajar dengan l. Karenanya
menurut postulat Playfair, m tidak
sejajar dengan l. Oleh karena itu,
garis m dan l bertemu.
Seandainya
garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari dari 1 dan 2, katakanlah di titik E maka 2 merupakan sudut eksterior ΔPQE, karenanya 2 > 3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis
m dan l bertemu pada sisi garis transversal yang memuat 1 dan 2. Jadi postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan
akibatnya dua postulat tersebut menjadi ekivalen.
C.
PERAN
POSTULAT SEJAJAR EUCLID
Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan
beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan :
1. Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis
transversal, sebarang pasangan sudut interior dalam berseberangan yang
terbentuk akan sama besar.
2. Jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.
3. Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang
adalah sama besar.
4. Garis sejajar selalu berjarak sama.
5. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.
6. Teori luas menggunakan unit persegi.
7. Teori segitiga yang sama, yang termasuk
eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang
diketahui.
Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat
penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki
teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang
terkenal itu.
Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa
sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid
manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya
sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut.
Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki
kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian
dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba
mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat
tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti.
D.
TOKOH-TOKOH DALAM
PERKEMBANGAN EUCLID GEOMETRY
Bukti
Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid
Prolus (410-485) memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid yang
kita ringkas sebagai berikut :
Kita asumsikan
postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P merupakan titik
tidak berada pada garis l (gambar
2.7). kita bentuk garis m melalui P
sejajar dengan garis l dengan cara
yang biasa digunakan. Misalkan tegak lurus dengan l
di Q, dan misalkan m tegak lurus
dengan di P. Sekarang, anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah
pada sisi kanan . Bagian dari n di sebelah
kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi oleh garis l, m
dan . Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan tegak lurus dengan l di Y dan
misalkan garis tersebut bertemu dengan garis n
di Z. Maka > . Misalkan X mundur di garis m,
maka meningkat secara tidak menentu,
karena setidaknya sama besarnya dengan
segmen dari X yang tegak lurus dengan n.
Jadi juga meningkat secara tidak
menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. Oleh karena itu,
akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah. Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar
dengan garis l. Karenanya, postulat
Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.
Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi :
a.
jika dua garis saling berpotongan, jarak pada
suatu garis dari satu titik ke garis lainnya akan meningkat secara tak menentu,
karena titik tersebut mundur (menyusut) tak berujung.
b.
segmen terpendek yang menghubungkan titik
eksternal pada suatu garis merupakan segmen yang tegak lurus.
c.
jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.
(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan
postulat sejajar Euclid. Jadi inti persoalan pembuktian adalah asumsi (c).
Proclus mengasumsikan (c) sebagai postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai
postulat asumsi Proclus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus
ekivalen dengan postulat sejajar Proclus. Postulat sejajar Euclid
mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar selalu konstan, dan terbatas.
Konversinya, melalui argumen Proclus dapat dinyatakan bahwa postulat Proclus
mengimplikasikan postulat sejajar Euclid.
Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar
dengan postulat yang ekivalen, dan bukan menetapkan validitas postulat sejajar
tersebut.
Percobaan
Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid
Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan
studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di
tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan
pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya
ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan
menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat
sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung.
Maksud Saccheri adalah studi segi
empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga.
Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam
tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri.
Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku
di A, B (gambar 2.10). Saccheri membuktikan bahwa C = D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan
sudut C dan D :
1. hipotesis tentang sudut siku-siku (C = D = 90°)
2. hipotesis tentang sudut tumpul (C = D > 90°)
3. hipotesis tentang sudut lancip (C = D < 90°)
Jika postulat sejajar Euclid
diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan terjadi (karena postulat
sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang segi empat adalah 360°).
Argumen dasar Saccheri sebagai
berikut:
Tunjukkan
bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa
keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang
ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.
Saccheri membuktikan menggunakan sederetan
teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan
menghasilkan kontradiksi.
Beliau mempertimbangkan implikasi
hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua
di antaranya kita nyatakan sebagai berikut:
·
Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari
180°.
·
Jika l dan m merupakan dua garis dalam
bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi:
a.
l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua
garis tersebut divergen dari titik perpotongan.
b.
l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki
garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua
arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut.
c.
l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki
garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu
arah langkah, dan divergen pada arah lainnya.
Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi,
meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui
pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas
kontradikisi seperti geometri Euclid.
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Adapun
kesimpulan yang dapat ditarik dari penyusunan makalah ini adalah sebagai
berikut:
1.
Geometri
Euclid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema ("pernyataan yang benar")
diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas, artinya hasil-hasil
penting/teorema-teorema tersebut merupakan akibat dari postulat sejajar.
2.
Peran
postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat
penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki
teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang
terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan apabila dideduksi
dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat lainnya yang lebih
pasti.
0 Response to "makalah geometri euclid.."
Posting Komentar